他ブログ最新記事

cos36°ってどうやって導く?

2010年08月03日 02:46

久しぶりに数学のお話。

深夜番組の中で意外と見ちゃう番組。
それは、『たけしのコマネチ大学数学科

自分が大学生だった時に始まった番組で、
当時は理学部だったこともあり毎週見てました。
社会人になってからは数学なんぞ興味が失せめっきり見なくなりましたが、
ここんとこ時々見るようになりました。

そして今週のコマ大。
肝心の問題を見逃し解説だけを見るという悲しい結果になりましたが、
ちょっとだけ興味をひかれる部分が。
どうやら出題された問題、cos36°の値を求めなければ解けないのだという。

・・・cos36°

cos30°、cos45°、cos60°は単位円を用いればすぐ値は導けます。
俺も元理学部の端くれ。
久しぶりに知恵を絞って考えるか。

・・・36°

・・・・・・。

半端な角度だ。
というか半端すぎる・・・。
いやいやこんなの無理だ。

こんな問題が実際に試験に出たらどうします?
俺なら諦めるね。
でも出題された問題ってどこかの大学入試の問題らしい。

ではどうやって導くか。
解説の先生は五角形を用いてました。
五角形に対角線を引くと内角が三等分されます。
五角形の内角は108°
108 ÷ 3 = 36 です。
あとは五角形の対角線と黄金比の関係を考えれば導ける・・・らしい。

??????

書いてて自分でも意味不明w
つーかcos36°求めるのに五角形が頭に浮かぶ人間なんてどうかしてるぜっ。

なので別解。
現役高校生でも自力でなんとか導き出せるレベルでcos36°を導こう!

36°= α とする。
5α = 180°なので 2α = 180°- 3α
∴ sin2α = sin(180°- 3α) = sin3α

2倍角の公式と3倍角の公式より
sin2α = 2sinαcosα
sin3α = 3sinα - 4sin3α
∴ 2sinαcosα = 3sinα - 4sin3α

sinα ≠ 0 なので両辺をsinαで割って
2cosα = 3 - 4sin2α
sin2α = 1 - cos2αより
2cosα = 3 - 4(1 - cos2α) = 4cos2α - 1 ...(1)

cosα = x とおくと(1)は
4x2 - 2x - 1 = 0 となる
これを解くと x ≒ 0.8 となる
cos36°= x なので
∴cos36°≒ 0.8


以上。
久々に数学で頭使ったなぁ。
でもたまにはいいもんだ。
関連記事
スポンサーサイト



コメント

    コメントの投稿

    (コメント編集・削除に必要)
    (管理者にだけ表示を許可する)

    トラックバック

    この記事のトラックバックURL
    http://mocheblog.blog22.fc2.com/tb.php/325-4953951c
    この記事へのトラックバック